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Parkettierungen der Ebene: Von Escher Ã¼ber MÃ¶bius zu Penrose

By (author) Ehrhard Behrends

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Ziel des Buches ist das Studium von Symmetrien und Parkettierungen, die KÃ¼nstler und Mathematiker schon seit langer Zeit interessieren. BerÃ¼hmte Beispiele sind die von den Arabern in der Alhambra geschaffenen Werke und die Bilder des hollÃ¤ndischen Malers Maurits Escher. Die Mathematiker haben sich erst im 19. Jahrhundert des Themas intensiv angenommen. Dabei fÃ¼hrt die Visualisierung der mathematischen ZusammenhÃ¤nge zu sehr ansprechenden Bildern. Drei AnsÃ¤tze werden in diesem Buch beschrieben. In Teil I wird dargestellt, dass es 17 prinzipiell verschiedene MÃ¶glichkeiten von Parkettierungen der Ebene gibt, die so genannten ""Ebenen Kristallgruppen"". ErgÃ¤nzend dazu werden Ideen von Harald Heesch beschrieben, der zeigte, wie diese theoretischen Ergebnisse praktisch umgesetzt werden kÃ¶nnen: Er gab einen Katalog von 28 Verfahren an, die man selbst - sozusagen auf den Spuren von Escher - kreativ zur Schaffung kÃ¼nstlerisch anspruchsvoller Parkettierungen verwenden kann. Bei den entsprechenden Untersuchungen fÃ¼r die komplexe Ebene in Teil II werden Bewegungen durch bijektive holomorphe Abbildungen ersetzt. Das fÃ¼hrt in die Theorie der Gruppen von MÃ¶biustransformationen: Kleinsche Gruppen, Schottkygruppen usw. Dort gibt es auch interessante Verbindungen zur hyperbolischen Geometrie. SchlieÃŸlich wird in Teil III noch ein dritter Aspekt des Themas behandelt, die Penroseparkettierungen. Dabei geht es um Ergebnisse aus den siebziger Jahren, als erstmals einfach zu beschreibende und beweisbar nichtperiodische Parkettierungen der Ebene angegeben wurden.Â

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